Research on the uniqueness of displacements back analysis for viscoelastic rock masses based on the Kelvin-Voigt model
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摘要:
在岩土工程中，准确的岩体力学参数对于工程项目的建设和维护极为重要，相较于现场原位试验、实验室试验、数值模拟等获取参数的方法，岩体位移反分析方法具有方便操作、条件获取难度小、数据准确等特点，而反分析结果的唯一性是位移反分析能否成功的重要影响因素。为了研究位移反分析结果的唯一性问题，使用Laplace变换和蠕变柔量的方法，推导了在圆形巷道中符合Kelvin-Voigt模型的黏弹性岩体的位移解析解，并运用参数可辨识准则研究了已知参数对黏弹性岩体反分析唯一性的影响。研究结果表明，无论在任何条件下，都无法唯一地反演出所有6个参数，在至少有2个参数是已知的情况下，才可能唯一地反演出其他参数；地应力分量被唯一反演的概率最大，弹性模量、泊松比和黏滞系数根据控制条件的不同，其可辨识性存在差异，并随着已知参数数量的增加，参数可辨识性也随之增强；地应力是否为0对反演结果的唯一性有着显著的影响。工程算例表明，研究结果对于岩体参数的反分析计算具有重要的指导意义。
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关键词:
- Kelvin-Voigt模型 /
- 黏弹性 /
- 位移解析解 /
- 位移反分析 /
- 唯一性
Abstract:In geotechnical engineering, accurate mechanical parameters of rock mass are very important for the construction and maintenance of engineering projects. Compared with the methods of obtaining parameters such as in-situ test, laboratory test and numerical simulation, the displacements back analysis method of rock mass has the characteristics of convenient operation, less difficulty in obtaining conditions and accurate data. The uniqueness of the back analysis results is an important factor affecting the success of the displacements back analysis. In order to study the uniqueness of displacements back analysis results, the displacement analytical solution of viscoelastic rock mass conforming to Kelvin-Voigt model in circular roadway is derived by using Laplace transform and creep compliance method, and the influence of known parameters on the uniqueness of viscoelastic rock mass back analysis is studied by using parameter variability criterion. The results show that under any conditions, it is impossible to uniquely invert all six parameters, and it is possible to uniquely invert other parameters when at least two parameters are known. The probability that the in-situ stress component is uniquely inverted is the largest. The identifiability of elastic modulus, Poisson’s ratio and viscosity coefficient varies according to different control conditions, and the identifiability of parameters increases with the increase of the number of known parameters. Whether the ground stress is 0 has a significant impact on the uniqueness of the inversion results. The calculation of engineering examples shows that the research results have important guiding significance for the back analysis and calculation of rock mass parameters.
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0. 引 言
随着科学技术的快速发展，岩体流变力学的数值解法得到了显著的改进，为相关研究提供了极大的便利。已有研究表明，使用不同数值计算方法得到的结果之间误差较小，因此，岩体参数的选取就成为了稳定性分析的主要影响因素[1]。受地质运动的影响，岩体的形成是一个需要大量时间且极为复杂的过程，岩体受时间效应影响的同时还拥有着节理、裂隙、断层等复杂的结构和独特的力学状态，以及力学性能，难以获得较为准确的力学参数。因此，准确的力学参数的获取已经成为一个非常现实且极为棘手的问题[2]。岩体参数的确定有多种方法，如在不扰动岩土层的情况下对工程现场岩土进行实验，从而获得其力学特性以及相关力学参数的原位试验法；对现场岩土取样后，在实验室内进行实验获取参数的实验室试验法；根据先前大量的工程案例，进行归纳、总结、分析得到力学参数经验值的统计分析法等，但其都具有局限性。现场试验法难度大、周期长；实验室试验法由于是局部取样，难以反映岩土的整体力学特性；统计分析法由于先前工程样本有限，结果误差较大。经长期研究表明，通过现场数据进行反分析可以获得较为准确的力学参数，这一方法为确定岩体力学参数提供了新的思路[3-4]。
自1971年KAVANAGH等[5]提出利用有限元法反分析力学参数以来，众多学者对位移解析解展开了研究。宋威等[6]建立了多输出支持向量回归模型，并引入免疫克隆选择算法对围岩智能位移反分析进行了研究；杨林德等[7]提出了一种力法位移反分析的有限元分析方法；李林等[8]针对边坡滑体进行了位移反分析研究；孙明社等[9]考虑衬砌对围岩和初期支护的约束作用进行了位移反分析研究；唐建新等[10]采用位移反分析法对室内煤岩物理力学参数测试结果进行了校准。经过学者们不断的深入研究，位移反分析得到了快速的发展。但上述文章均未对反分析中至关重要的唯一性问题进行说明。吕爱钟等[11-12]根据极小目标函数的充分必要条件推导了参数可辨识性条件；佘远国等[13]论述了在反分析过程中岩体为弹性时现场获取参数的测点位置对唯一性的影响；YANG等[14]在图谱反分析过程中使用几何图法证明了其唯一性；张志增等[15-17]研究了横观各向同性岩体反分析的唯一性问题，以及在考虑岩体黏弹性的情况下，进行了基于Maxwell模型的圆形巷道位移反分析唯一性研究；魏霖阳[18]证明了在双洞室情况下反分析的唯一性；张志增等[19]基于Kelvin模型研究了圆形巷道的位移反分析唯一性问题。本文在上述研究的基础上，对基于Kelvin-Voigt模型的黏弹性岩体位移反分析的唯一性进行研究。
1. 圆形巷道黏弹性解析解
位移解析解能够准确地描述围岩的各项参数与围岩位移之间的关系，并建起精确的围岩形变模型。同时，位移解析解也是进行反分析工作的重要前提，有着不可替代性。在众多巷道形状中，圆形巷道具有形状规则、结构简单等特点，有着广泛的应用，其分析结果具有一般性的规律，对于非圆形巷道的理论研究也有一定的指导意义。基于Kelvin-Voigt模型对圆形巷道的位移解析解进行推导，假设在巷道形状为圆形且岩体为弹性时，巷道的边界情况如图1所示，周围均匀分布水平初始地应力q和竖向初始地应力p，其位移表达式[20]为式（1）。
$$ {u_r} = \dfrac{{1 + \mu }}{{2E}}\dfrac{{p{a^2}}}{r}\left[ {（ {\dfrac{q}{p} + 1} ） + （ {\dfrac{q}{p} - 1} ）（ {4 - 4\mu - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ）\cos 2\theta } \right] $$ (1) 式中：$a$为巷道的半径；$r$为围岩内任意一点至巷道圆心的距离；$\mu $为泊松比；$\theta $为该点直径与水平方向内的夹角；$p$为竖直方向的初始地应力；$q$为水平方向的初始地应力。
若令Ar和Br满足式（2）和式（3），则式（1）可以改写为式（4）。
$$ {A_r} = \dfrac{{{a^2}}}{{2r}}\left[ {（ {q + p} ） + （ {q - p} ）（ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ）\cos 2\theta } \right] $$ (2) $$ {B_r} = \dfrac{{3{a^2}}}{r}（ {q - p} ）\cos 2\theta $$ (3) $$ {u_r} = \dfrac{{{A_r}}}{{2G}} + \dfrac{{{B_r}}}{{6K + 2G}} $$ (4) 式中：$K$为体积弹性模量，$K = \dfrac{E}{{3（ {1 - 2\mu } ）}}$；$G$为剪切弹性模量，$G = \dfrac{E}{{2（ {1 + 2\mu } ）}}$。
Kelvin-Voigt模型是由一个H体与一个Kelvin体串联而成，其本构方程为式（5）。
$$ \dfrac{\eta }{{{E_H} + {E_K}}}\dot \sigma + \sigma = \dfrac{{{E_H}{E_K}}}{{{E_H} + {E_K}}}\varepsilon + \dfrac{{{E_H}\eta }}{{{E_H} + {E_K}}}\dot \varepsilon $$ (5) 式中：$\eta $为K体的黏滞系数；${E_H}$为H体的弹性模量；${E_K}$为K体的弹性模量。
黏弹性岩体本构方程的微分形式为式（6）。
$$ f（ D ）\sigma = g（ D ）\varepsilon $$ (6) 根据Kelvin-Voigt模型的本构方程式（5）和式（6）可得式（7）。
$$ \left. \begin{gathered} f（ D ） = {E_H} + {E_K} + \eta D \\ g（ D ） = {E_H}{E_K} + {E_H}\eta D \\ \end{gathered} \right\} $$ (7) 对式（7）进行Laplace变换可以去掉其微分算子得到式（8）。
$$ \left. \begin{gathered} f（ s ） = {E_H} + {E_K} + \eta s \\ g（ s ） = {E_H}{E_K} + {E_H}\eta s \\ \end{gathered} \right\} $$ (8) 由蠕变柔量公式[21]和广义蠕变柔量可得式（9）。
$$ \begin{split}& {J_1}（t） = {L^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{f（ s ）}}{{sg（ s ）}}} \right] = \dfrac{{{E_H} + {E_K}}}{{{E_H}{E_K}}} + （ {\dfrac{1}{{{E_H}}} - \tfrac{{{E_H} + {E_K}}}{{{E_H}{E_K}}}} ）{e^{ - \tfrac{{{E_K}}}{\eta }t}} \\& {J_2}（t） = {L^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{f（ s ）}}{{6sKf（ s ） + sg（ s ）}}} \right] = \\& \dfrac{v}{{\beta {E_H} + v\dfrac{{{E_H}{E_K}}}{{{E_H} + {E_K}}}}} \left( {1 - v\dfrac{{{E_H}}}{{{E_H} + {E_K}}}{e^{ - \beta t\tfrac{{{E_H} + {E_K}}}{\eta } - vt\tfrac{{{E_K}}}{\eta }}}}\right)\\ \end{split} $$ (9) 式中：$v = \dfrac{{1 - 2\mu }}{{3 - 2\mu }}$；$\beta = \dfrac{2}{{3 - 2\mu }}$。
对式（4）做Laplace变换得黏弹性径向位移表达式，见式（10）。
$$ {u_r} = {A_r}{J_1}（ t ） + {B_r}{J_2}（ t ） $$ (10) 把式（9）代入式（10）整理可得式（11）。
$$ \begin{split} {u_r} =& \dfrac{{{a^2}}}{{2r{E_2}}}（ {\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} + 1 - {e^{ - \tfrac{{{E_2}}}{\eta }t}}} ）\left[ {\cos 2\theta （ {q - p} ）（ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ） + p + q} \right] + \\ &\dfrac{{3{a^2}}}{{{E_1}r}}（ {q - p} ）\cos 2\theta v（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{{E_1}v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}{e^{ - \tfrac{{\beta {E_1} + {E_2}}}{\eta }t}}} ）\\[-2pt] \end{split} $$ (11) 式中：${E_1} = {E_H}$；${E_2} = {E_K}$。
式（11）是在开挖圆形巷道条件下的符合Kelvin-Voigt模型的黏弹性位移解析解。若令$t = 0$，式（11）可退化为与杨志法等[22]推导的解析解相同的弹性位移解析解，这证明了本文推导的解析解的正确性。
2. 参数可辨识条件
吕爱钟等[11-12]在位移解析表达式的基础上根据极小目标函数的充要条件提出了反分析中参数的可辨识条件：$\partial {\gamma _i}/\partial {\varphi _j}$为${\varphi _j}$的灵敏系数，其中，${\gamma _i}$为位移值，${\varphi _j}$为需要进行反分析唯一性研究的值，则可以根据参数的灵敏系数是否线性相关判定待求参数能否被唯一反演出来。
参数的灵敏系数是否线性相关，则可根据式（12）进行判断。
$$ {C_1}\dfrac{{\partial {\gamma _i}}}{{\partial {\varphi _1}}} + {C_2}\dfrac{{\partial {\gamma _i}}}{{\partial {\varphi _2}}} + \cdot \cdot \cdot + {C_m}\dfrac{{\partial {\gamma _i}}}{{\partial {\varphi _m}}} = 0（i = 0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,n） $$ (12) 式中：$ \varphi_1,\varphi_2,\cdot\cdot\cdot,\varphi_m $为需要反分析参数；$n$为现场测量点的个数，$n \geqslant m$。
灵敏系数是否相关是对于$i = 0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$，如果最少有一个不为0的${C_j}（j = 0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,m）$使式（11）成立，则线性相关；如果所有的${C_j}（j = 0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,m）$都为0时式（11）才成立，则线性无关。
3. 位移反分析唯一性
由式（11）可计算得到各个参数的灵敏系数为式（13）～式（18）。
$$ \begin{split} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial q}} =& \dfrac{{{a^2}}}{{2r{E_2}}}（ {\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} + 1 - H} ） + \dfrac{{{a^2}}}{{2r{E_2}}}\cos 2\theta （ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ）（ {\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} + 1 - H} ） +\\& \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_2}}}\cos 2\theta v（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{{E_1}vD}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} ）\\[-2pt] \end{split} $$ (13) $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial p}} = &\dfrac{{{a^2}}}{{2r{E_2}}}（ {\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} + 1 - H} ） - \dfrac{{{a^2}}}{{2r{E_2}}}\cos 2\theta （ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ）（ {\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} + 1 - H} ） +\\& \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_2}}}\cos 2\theta v（ {\dfrac{{{E_{1}} +{E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{{E_1}vD}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} ） \\[-2pt] \end{split}$$ (14) $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial \eta }} =& - \dfrac{{{a^2}}}{{2r}}H\dfrac{t}{{{\eta ^2}}}\left[ {\cos 2\theta （ {q - p} ）（ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ） + p + q} \right] -\\& \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_1}}}\cos 2\theta （ {q - p} ）\dfrac{{{v^2}tD{E_1}}}{{{\eta ^2}}} \\[-2pt] \end{split} $$ (15) $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial {E_1}}} = & - \dfrac{{{a^2}}}{{2rE_1^2}}\left[ {\cos 2\theta （ {q - p} ）（ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ） + p + q} \right] + \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_1}}}\dfrac{{\cos 2\theta （ {q - p} ）v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}\\& \left[ {\dfrac{{{E_2}v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {1 + D} ） + \dfrac{{D{E_1}vt\beta }}{\eta } + Dv - \dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} - 1} \right] \\[-2pt] \end{split} $$ (16) $$ \begin{gathered} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial {E_2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2rE_2^2}}（ {\dfrac{{H{E_2}t}}{\eta } + H - 1} ）\left[ {\cos 2\theta （ {q - p} ）（ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ） + p + q} \right]+ \\ \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_1}}}\cos 2\theta （ {q - p} ）v\left[ {\dfrac{{v{E_1}}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}}（ {D - 1} ） + \dfrac{{v{E_1}}}{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}}\dfrac{{Dt}}{\eta }} \right] \\ \end{gathered} $$ (17) $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {u_r}}}{{\partial \mu }} =& \dfrac{{3{a^2}}}{{r{E_1}}}\cos 2\theta （ {q - p} ）\left\{ \dfrac{{{{（ {{E_1} + {E_2}} ）}^2}v'}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}} -\right.\\& \left.\dfrac{{v D {E_1}}}{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}}\left[ {\dfrac{{2v{E_2} + {E_1}（ {2v'\beta - \beta 'v} ）}}{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}} - \dfrac{{v\beta 't{E_1}}}{\eta }} \right] \right\}\\[-2pt] \end{split} $$ (18) 式中$D = {e^{\tfrac{{\beta {E_1} + {E_2}}}{{ - \eta }}t}}$，$H = {e^{\tfrac{{{E_2}}}{{ - \eta }}t}}$，$v' = \dfrac{{ - 4}}{{{{（ {3 - 2\mu } ）}^2}}}$，$\beta ' = \dfrac{4}{{{{（ {3 - 2\mu } ）}^2}}}$，${E_1} = {E_H}$，${E_2} = {E_K}$。
将式（13）～式（18）代入到式（12）展开并整理后得式（19）。
$$ \begin{gathered} \dfrac{{{a^2}}}{{{r_1}}}\left\{ {（ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ）{C_1} + （ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 + H}}{{{E_2}}}} ）{C_2} - \left[ {\dfrac{{Ht（ {p + q} ）}}{{{\eta ^2}}}} \right]{C_3} - \dfrac{{p + q}}{{E_1^2}}{C_4} + \left[ {（ {\dfrac{{Ht}}{{{E_2}\eta }} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）} \right]{C_5}} \right\}+ \\ \dfrac{{{a^2}}}{r}\cos 2\theta （ {2 - \dfrac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} ）\left\{ \begin{gathered} （ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ）{C_1} - （ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ）{C_2} - \left[ {\dfrac{{Ht（ {q - p} ）}}{{{\eta ^2}}}} \right]{C_3} \\ -\dfrac{{q - p}}{{E_1^2}}{C_4} + \left[ {（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）} \right]{C_5} \\ \end{gathered} \right\}+ \\ \dfrac{{3{a^2}}}{r}\cos 2\theta \left\{ \begin{gathered} \left[ {\dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} \right]{C_1} - \left[ {\dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} \right]{C_2} - \left[ {\dfrac{{{v^2}tD}}{{{\eta ^2}}}（ {q - p} ）} \right]{C_3} + \\ \left[ {\dfrac{v}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2\beta v{E_1} + v{E_2} - \beta E_1^2 - 2\beta {E_1}{E_2} - E_2^2}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{Dvt\beta }}{\eta }} ）} \right]{C_4} + \\ \left[ {\dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）} \right]{C_5}+ \\ \left[ \begin{gathered} \dfrac{{v'（ {{E_1} + 2{E_2}} ）（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}} + \dfrac{{v'E_2^2（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}{E_1}}} \\ -\dfrac{{vD（ {q - p} ）}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2v'{E_2} + 2v'\beta {E_1} - v\beta '{E_1}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{v\beta 't{E_1}}}{\eta }} ） \\ \end{gathered} \right]{C_6} \\ \end{gathered} \right\} = 0 \\ \end{gathered} $$ (19) 假设忽略测点布置对反分析唯一性的影响，即$r$和$\theta $均为自由变量，则可根据式（19）得到关于${C_1}\sim {C_6}$的方程组，见式（20）。
方程组式（20）的系数矩阵为式（21）。
$$ \left. \begin{gathered} {C_1}（ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ） + {C_2}（ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 + H}}{{{E_2}}}} ） - {C_3}\left[ {\dfrac{{Ht（ {p + q} ）}}{{{\eta ^2}}}} \right] - {C_4}\dfrac{{p + q}}{{E_1^2}} + {C_5}\left[ {（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）} \right] = 0 \\ {C_1}（ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ） - {C_2}（ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}} ） - {C_3}\left[ {\dfrac{{Ht（ {q - p} ）}}{{{\eta ^2}}}} \right] - {C_4}\dfrac{{q - p}}{{E_1^2}} + {C_5}\left[ {（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）} \right] = 0 \\ {C_1}\left[ {\dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} \right] - {C_2}\left[ {\dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}} \right] - {C_3}\left[ {\dfrac{{{v^2}tD}}{{{\eta ^2}}}（ {q - p} ）} \right] + \\ {C_4}\left[ {\dfrac{v}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2\beta v{E_1} + v{E_2} - \beta E_1^2 - 2\beta {E_1}{E_2} - E_2^2}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{Dvt\beta }}{\eta }} ）} \right] + {C_5}\left[ {\dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）} \right]+ \\ {C_6}\left[ {\dfrac{{v'（ {{E_1} + 2{E_2}} ）（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}} + \dfrac{{v'E_2^2（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}{E_1}}} - \dfrac{{vD（ {q - p} ）}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2v'{E_2} + 2v'\beta {E_1} - v\beta '{E_1}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{v\beta 't{E_1}}}{\eta }} ）} \right] = 0 \\ \end{gathered} \right\} $$ (20) $$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}}&{\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 + H}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{Ht（ {p + q} ）}}{{{\eta ^2}}}}&{ - \dfrac{{p + q}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）}&0 \\ {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{1}{{{E_1}}} - \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{Ht（ {q - p} ）}}{{{\eta ^2}}}}&{ - \dfrac{{q - p}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）}&0 \\ {\dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}}&{ - \dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}}&{ - \dfrac{{{v^2}tD}}{{{\eta ^2}}}（ {q - p} ）}&M&N&P \end{array}} \right) $$ (21) 式中：
$$ \begin{split} & M = \dfrac{v}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2\beta v{E_1} + v{E_2} - \beta E_1^2 - 2\beta {E_1}{E_2} - E_2^2}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{Dvt\beta }}{\eta }} ）\text{；}\\&N = \dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）\text{；} \end{split} $$ $$ \begin{split} P =& \dfrac{{v'（ {{E_1} + 2{E_2}} ）（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}} + \dfrac{{v'E_2^2（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}{E_1}}} - \\&\dfrac{{vD（ {q - p} ）}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2v'{E_2} + 2v'\beta {E_1} - v\beta '{E_1}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{v\beta 't{E_1}}}{\eta }} ）。 \end{split} $$ 系数矩阵式（21）的秩为3，方程组式（20）中未知数的个数为6个，如果要使其他参数可以被唯一地反分析出来，则需要已知3个以上的参数。为了使结果方便分析，对唯一性做出如下定义。
1）条件唯一：反分析的各个参数在特定情况中，结果才唯一。
2）绝对唯一：反分析的各个参数在任何情况下，结果都唯一。
3）不唯一：反分析的各个参数在任何情况下，结果都不唯一。
3.1 已知任意3个参数，反分析其他3个参数
在已知任意3个参数，反分析其他3个参数时共有$C_6^3 = 20$种情况，分析过程举例说明。其余反分析唯一性结果见表1。
表 1 已知任意3个参数时反分析唯一性结果Table 1. Uniqueness results of back analysis when any 3 parameters are known序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $?$ 不唯一 $R = 2$ 2 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $?$ 不唯一 $R = 2$ 3 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $?$ 不唯一 $R = 2$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $?$ $\surd $ 不唯一 $R = 2$ 5 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 6 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 7 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 8 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 9 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 10 $\surd $ $?$ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 11 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 12 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 13 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 14 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 15 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 16 $?$ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 17 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 18 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 19 $?$ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 20 $?$ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 注：表中$\surd $代表该参数已知，$ ？ $代表该参数为反演参数，下同。 1）示例1：假设已知参数为$ q、p $和$\eta $，反分析$ {E}_{1}、{E}_{2} $和$\mu $3个参数。此时，$ \partial {u}_{r}/\partial q、\partial {u}_{r}/\partial p $和$\partial {u_r}/\partial \eta $都等于0，则系数矩阵式（21）变为式（22）。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{p + q}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）}&0 \\ { - \dfrac{{q - p}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）}&0 \\ M&{\dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）}&P \end{array}} \right) $$ (22) 当系数矩阵的秩$R = 3$时，方程组线性无关，结果唯一；当系数矩阵的秩$R < 3$时，方程组线性相关，结果不唯一。式（22）的秩$R = 2 < 3$，因此，反分析结果为三种情况中的不唯一。
2）示例2：在已知参数$ q、\eta $和${E_1}$的情况下，反分析参数$ p、{E}_{2} $和$\mu $，则$ \partial {u}_{r}/\partial q、\partial {u}_{r}/\partial \eta $和$\partial {u_r}/\partial {E_1}$都为0，且系数矩阵式（21）变为式（23）。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 + H}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{p + q}}{{E_1^2}}}&0 \\ { - \dfrac{1}{{{E_1}}} - \dfrac{{1 - H}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{q - p}}{{E_1^2}}}&0 \\ { - \dfrac{v}{{{E_1}}}\dfrac{{{E_1}（ {1 - vD} ） + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}}&M&P \end{array}} \right) $$ (23) 在$q = p$的情况下，式（23）的秩$R = 2$，结果不唯一；在$q \ne p$的情况下，式（23）的秩$R = 3$，结果唯一。因此，示例2的反分析结果为三种情况中的条件唯一。
由表1和图2可知：①在已知任意3个参数的20种情况中，有4种不唯一的结果，有13种条件唯一的结果，有3种绝对唯一的结果。②地应力$q$和$p$对结果有显著影响，当两者相等时，结果不唯一；当两者不相等时，结果唯一。③地应力$q$和$p$的反演结果中绝对唯一和条件唯一综合次数最多，可辨识性较好，$ \eta 、{E}_{1}、{E}_{2} $与$\mu $相对较差。
3.2 已知任意4个参数，反分析其他2个参数
在已知任意4个参数，反分析其他2个参数时共有$C_6^4 = 15$种情况，分析过程举例说明。其余反分析唯一性结果见表2。
表 2 已知任意4个参数时反分析唯一性结果Table 2. Uniqueness results of back analysis when any 4 parameters are known序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 2 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 3 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 5 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 6 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 7 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 8 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 9 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 10 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 11 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 12 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 13 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 14 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 15 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 1）示例3：在已知参数$ q、p、\eta $和${E_1}$的情况下，反分析参数${E_2}$和$\mu $，则$ \partial {u}_{r}/\partial q、\partial {u}_{r}/\partial p、\partial {u}_{r}/\partial \eta $和$\partial {u_r}/\partial {E_1}$都为0，且系数矩阵式（21）变为式（24）。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）}&0 \\ {（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）}&0 \\ {\dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）}&P \end{array}} \right) $$ (24) 当系数矩阵的秩$R = 2$时，方程组线性无关，结果唯一；当系数矩阵的秩$R < 2$时，方程组线性相关，结果不唯一。对于矩阵式（24），当$q = p$时，其秩为$R = 1$，结果不唯一；当$q \ne p$时，其秩为$R = 2$，结果唯一。因此，示例3的反分析结果为条件唯一。
2）示例4：在已知参数$q$、$p$、$\eta $和$\mu $的情况下，反分析参数${E_1}$和${E_2}$参数，则$\partial {u_r}/\partial q$、$\partial {u_r}/\partial p$、$\partial {u_r}/\partial \eta $和$\partial {u_r}/\partial \mu $都为0，且系数矩阵式（21）变为式（25）。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{p + q}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {p + q} ）} \\ { - \dfrac{{q - p}}{{E_1^2}}}&{（ {\dfrac{{Ht}}{{\eta {E_2}}} + \dfrac{{H - 1}}{{E_2^2}}} ）（ {q - p} ）} \\ M&{\dfrac{{q - p}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{{v^2}D - {v^2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} + \dfrac{{D{v^2}t}}{\eta }} ）} \end{array}}\right) $$ (25) 式（25）在任何情况下，其秩都为$R = 2$，因此，反分析结果为三种情况中的绝对唯一。
由表2和图3可知：①在已知任意4个参数的15种情况中，条件唯一的情况有6种，绝对唯一的情况有9种，没有不唯一的情况。②参数$q$和$p$对结果有显著影响，当两者相等时，结果不唯一；当两者不相等时，结果唯一。③参数$ q、p $和${E_1}$的反演结果中绝对唯一和条件唯一综合次数最多，可辨识性较好，$ \eta 、{E}_{2} $次之，$\mu $最差。
3.3 已知任意5个参数，反分析另外1个参数
在已知任意5个参数，反分析另外1个参数时共有$C_6^5 = 6$种情况，分析过程举例说明。其余反分析唯一性结果见表3。
表 3 已知任意5个参数时反分析唯一性结果Table 3. Uniqueness results of back analysis when any 5 parameters are known序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 0;p \ne q,R = 1$ 2 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 3 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 5 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 6 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 1）示例5。假设已知参数为$ q、p、\eta 、{E}_{1} $和${E_2}$，反分析$\mu $1个参数。此时，$\partial {u_r}/\partial q$、$\partial {u_r}/\partial p$、$\partial {u_r}/\partial \eta $、$\partial {u_r}/\partial {E_1}$和$\partial {u_r}/\partial {E_2}$都等于0，则系数矩阵（21）变为式（26）。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 0 \\ 0 \\ \end{gathered} \\ {\dfrac{{v'（ {{E_1} + 2{E_2}} ）（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}}} + \dfrac{{v'E_2^2（ {q - p} ）}}{{{{（ {\beta {E_1} + {E_2}} ）}^2}{E_1}}} - \dfrac{{vD（ {q - p} ）}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}（ {\dfrac{{2v'{E_2} + 2v'\beta {E_1} - v\beta '{E_1}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{v\beta 't{E_1}}}{\eta }} ）} \end{array}}\right) $$ (26) 当系数矩阵的秩$R = 1$时，结果唯一；当系数矩阵的秩$R < 1$时。对于矩阵（26），当$q = p$时，其秩为$R = 1$,结果唯一；当$q \ne p$时，其秩为$R = 0$，结果不唯一。因此，示例5的反分析结果为条件唯一。
由表3和图4可知：①在已知任意5个参数的6种情况中，条件唯一的情况有1种，绝对唯一的情况有5种，没有不唯一的情况。②反分析参数$\mu $时，参数$q$和$p$对结果有影响，当两者相等时，结果不唯一；当两者不相等时，结果唯一。③参数$ q、p、\eta 、{E}_{1} $和${E_2}$的反演结果均为绝对唯一，可辨识性相同且较好，$\mu $较差。
4. 工程算例
已知开挖巷道的形状为圆形，假设岩体均质且岩体力学性能符合Kelvin-Voigt模型。参数$a = 2$m，$r = 2$ m，$q = 30$ MPa，$p = 15$ MPa,$\eta = 500$ MPa·h，${E_1} = 800$ MPa，${E_2} = 1\;100$ MPa，$\mu = 0.25$。已知3个测点 $ {C}_{1}（2, {0}^{\circ }）、{C}_{2}（2,{60}^{\circ }）、{C}_{3}（2,{90}^{\circ }） $的位移位置如图5所示。
首先，测得t=24 h时的实测位移值；其次，与根据已知参数计算得出的解析位移值进行比对分析；最后，把已知参数与反演所得参数进行对比分析，并综合判断反分析的唯一性。表4列出了巷道形状为圆形时不同测点的实测位移值与解析位移值，并计算得出误差与相对误差。正常情况下，计算所得位移值与解析所得位移应没有误差，但是实际测量过程中影响因素较多存在误差，所以实测值与解析值会存在误差。基于实测位移值对不同参数进行反分析验证其唯一性，具体如下所述。
表 4 实测位移值与解析位移值对比Table 4. Comparison between measured displacement values and analytical displacement values测点
序号测点
位置实测位
移值/cm解析位
移值/cm相对
误差/cm相对
误差/%1 $（ {2,{0^ \circ }} ）$ 15.28 15.66 0.38 2.48 2 $（ {2,{{30}^ \circ }} ）$ 16.31 15.81 0.50 3.06 3 $（ {2,{{90}^ \circ }} ）$ 13.25 13.64 0.39 1.58 示例1：根据表2可知，在已知参数$\eta $、${E_1}$、${E_2}$、$\mu $的情况下，利用位移值反分析参数$q$和$p$时的结果为绝对唯一。将在测点${C_1}（{r_1},{\theta _1}）$和${C_2}（{r_2},{\theta _2}）$测量所得值${u_1}$和${u_2}$代入式（11），可以得到$q$和$p$的解析表达式，见式（27）。
$$ \left. \begin{gathered} q = \dfrac{{{u_1}{D_2} - {u_2}{C_1}}}{{{C_1}{C_2} + {D_1}{D_2}}} \\ p = \dfrac{{{u_2}{D_1} + {u_1}{C_1}}}{{{C_1}{C_2} + {D_1}{D_2}}} \\ \end{gathered} \right\} $$ (27) 式中：
$$ \begin{split} & {C_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{r_1}}}\left[ {A（ {1 - 2\cos 2{\theta _1} + \dfrac{{{a^2}}}{{{r_1}^2}}\cos 2{\theta _1}} ） - B6\cos 2{\theta _1}} \right]\text{，} \\& {C_2} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{r_2}}}\left[ {A（ {1 - 2\cos 2{\theta _2} + \dfrac{{{a^2}}}{{{r_2}^2}}\cos 2{\theta _2}} ） - B6\cos 2{\theta _2}} \right]\text{；} \\& {D_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{r_1}}}\left[ {A（ {1 + 2\cos 2{\theta _1} - \dfrac{{{a^2}}}{{{r_1}^2}}\cos 2{\theta _1}} ） + B6\cos 2{\theta _1}} \right]\text{，} \\& {D_2} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{r_2}}}\left[ {A（ {1 + 2\cos 2{\theta _2} - \dfrac{{{a^2}}}{{{r_2}^2}}\cos 2{\theta _2}} ） + B6\cos 2{\theta _2}} \right]\text{；} \\& A = \dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{{E_1}{E_2}}} + （ {\dfrac{1}{{{E_1}}} - \dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{{E_1}{E_2}}}} ）{e^{ - \tfrac{{{E_2}}}{\eta }t}}\text{，} \\& B = \dfrac{v}{{\beta {E_1} + v\dfrac{{{E_1}{E_2}}}{{{E_1} + {E_2}}}}}（ {1 - v\dfrac{{{E_1}}}{{{E_1} + {E_2}}}} ）{e^{ - \beta t\tfrac{{{E_1} + {E_2}}}{\eta } - vt\tfrac{{{E_2}}}{\eta }}}。 \end{split} $$ 把已知参数代入式（27），对$q$和$p$在$t = 24$ h进行反分析计算，结果见表5和表6。
表 5 根据解析位移值反演结果Table 5. Results of inversion according to the analytical displacement values参数 测点 解析
位移值/cm参数
反演值/MPa参数
真实值/MPa误差/
MPaq ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.31 15 15 0 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.35 p ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.31 30 30 0 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.35 表 6 根据测量位移值反演结果Table 6. Results of inversion according to the measured displacement values参数 测点 测量
位移值/cm参数
反演值/MPa参数
真实值/MPa误差/
MPaq ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.28 14.94 15 0.14 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.36 p ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.28 29.86 30 0.06 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.36 由表5和表6可知，利用解析位移值进行反分析时，没有误差；根据测量位移值反分析时，误差较小。由此可得反演所得的岩体参数误差极小，在工程项目中可以进行使用。
示例2：根据表1可知，在已知参数$p$、$q$、$\eta $的情况下，根据测点位移不能唯一地反分析出其余参数。将三个测点${C_1}（2,{0^ \circ }）$、${C_2}（2,{30^ \circ }）$和${C_3}（2,{90^ \circ }）$的测量位移值${u_1}$、${u_2}$和${u_3}$代入式（11），可得式（28）。
$$ \left\{ \begin{split} 15.28 = & 60（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{{E_1}{E_2}}} - \dfrac{1}{{{E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6{E_2}}}{{125}}}}} ） + \\& \dfrac{{90}}{{{E_1}}}v（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} -\dfrac{{{E_1}v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6\beta {E_1} + 6{E_2}}}{{125}}}}} ） \\ 16.31 =& 52.5（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{{E_1}{E_2}}} - \dfrac{1}{{{E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6{E_2}}}{{125}}}}} ） +\\& \dfrac{{45}}{{{E_1}}}v（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{{E_1}v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6\beta {E_1} + 6{E_2}}}{{125}}}}} ） \\ 13.25 =& 30（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{{E_1}{E_2}}} - \dfrac{1}{{{E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6{E_2}}}{{125}}}}} ） -\\& \dfrac{{90}}{{{E_1}}}v（ {\dfrac{{{E_1} + {E_2}}}{{\beta {E_1} + {E_2}}} - \dfrac{{{E_1}v}}{{\beta {E_1} + {E_2}}}{e^{ - \tfrac{{6\beta {E_1} + 6{E_2}}}{{125}}}}} ） \\ \end{split} \right. $$ (28) 不论在什么条件下，对式（28）进行求解结果均是多解，因此，该情况下位移反分析的结果为不唯一。
5. 结 论
本文对符合Kelvin-Voigt模型的黏弹性岩体中圆形巷道位移反分析的唯一性进行了探讨，得到结论如下所述。
1）无论有多少个测点都不能唯一地反分析出所有的参数，在最少有3个参数已知的情况下，才有可能唯一地反分析出其他参数，并在反演过程中分别讨论了各种情况下的唯一性问题。
2）在反分析过程中，参数$q$和$p$是否相等，以及当其为已知参数时，是否为0对反分析结果有着显著的影响。当两者相等时，结果不唯一；当两者不相等时，结果唯一。
3）随着已知参数的增加，参数的可辨识性增强；地应力$q$和$p$可辨识性较好，$ \eta 、{E}_{1}、{E}_{2} $与$\mu $较差。
由于作者能力有限，本文关于黏弹性岩体位移反分析的研究尚有不足，后续研究可以使用其他三元件模型（Poynting-Thomson模型）或者使用更加贴近岩体力学性能的四元件模型（Burger’s模型），针对马蹄形、拱形等复杂形状巷道进行位移反分析研究。
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表 1 已知任意3个参数时反分析唯一性结果
Table 1 Uniqueness results of back analysis when any 3 parameters are known
序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $?$ 不唯一 $R = 2$ 2 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $?$ 不唯一 $R = 2$ 3 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $?$ 不唯一 $R = 2$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $?$ $\surd $ 不唯一 $R = 2$ 5 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 6 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 7 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 8 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 9 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 10 $\surd $ $?$ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 11 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 12 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 13 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 14 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 15 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $ q=p或p=0,R=2;q\ne p且p\ne 0,R=3 $ 16 $?$ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 17 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 18 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 19 $?$ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 3$ 20 $?$ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 条件唯一 $q = p,R = 2;q \ne p,R = 3$ 注：表中$\surd $代表该参数已知，$ ？ $代表该参数为反演参数，下同。 
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表 2 已知任意4个参数时反分析唯一性结果
Table 2 Uniqueness results of back analysis when any 4 parameters are known
序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 2 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 3 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 5 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 6 $\surd $ $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 7 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = 0,R = 2;p \ne 0,R = 3$ 8 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 9 $\surd $ $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 10 $\surd $ $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 11 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 1;p \ne q,R = 2$ 12 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 13 $?$ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 14 $?$ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$ 15 $?$ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 2$
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表 3 已知任意5个参数时反分析唯一性结果
Table 3 Uniqueness results of back analysis when any 5 parameters are known
序号 参数 结果 备注 $q$ $p$ $\eta $ ${E_1}$ ${E_2}$ $\mu $ 1 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ 条件唯一 $p = q,R = 0;p \ne q,R = 1$ 2 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 3 $\surd $ $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 4 $\surd $ $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 5 $\surd $ $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$ 6 $?$ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ $\surd $ 绝对唯一 $R = 1$
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表 4 实测位移值与解析位移值对比
Table 4 Comparison between measured displacement values and analytical displacement values
测点
序号测点
位置实测位
移值/cm解析位
移值/cm相对
误差/cm相对
误差/%1 $（ {2,{0^ \circ }} ）$ 15.28 15.66 0.38 2.48 2 $（ {2,{{30}^ \circ }} ）$ 16.31 15.81 0.50 3.06 3 $（ {2,{{90}^ \circ }} ）$ 13.25 13.64 0.39 1.58
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表 5 根据解析位移值反演结果
Table 5 Results of inversion according to the analytical displacement values
参数 测点 解析
位移值/cm参数
反演值/MPa参数
真实值/MPa误差/
MPaq ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.31 15 15 0 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.35 p ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.31 30 30 0 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.35
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表 6 根据测量位移值反演结果
Table 6 Results of inversion according to the measured displacement values
参数 测点 测量
位移值/cm参数
反演值/MPa参数
真实值/MPa误差/
MPaq ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.28 14.94 15 0.14 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.36 p ${C_1}（2,{0^ \circ }）$ 6.28 29.86 30 0.06 ${C_2}（2,{60^ \circ }）$ 13.36
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